ದ್ವೀತಿಯ ಪಿಯುಸಿ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

 ಗಣಿತ

ಸಂಬಂಧಗಳ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗವೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೊಸ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಹಾಗೆಯೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣಾಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣ A ಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣ Bಯ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಬೇಕಾದರೆ A ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಸಹ B ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣ A ದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಸಹ ಎರಡು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು.

ಒಂದು ಕ್ರಮಯುಗ್ಮದಲ್ಲಿ (a,b) ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿದ್ದರೆ f(a)=b ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ b ಎಂಬುದು a ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ f ಎನ್ನುವ ಉತ್ಪನ್ನ ಗಣ A ಯಿಂದ B ಗೆ ಇರುವ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಧಗಳು

ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನ: ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿ X ನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ (ವಿಭಿನ್ನ) ಗಣಾಂಶಗಳು, ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ f ನ್ನು ಅನೇಕ ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನ: ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ f:x _ y ನಲ್ಲಿ y ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶವು x ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಗಣಾಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ f ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ y ಆಗಿರಲೇಬೇಕು.

ಉಭಯ ಕ್ಷೇಪನ ಉತ್ಪನ್ನ: ಉತ್ಪನ್ನ f ಏಕ-ಏಕ ಮತ್ತು ಮೇಲಣ ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಭಯ ಕ್ಷೇಪನ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಧಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದ f1 f2 f3 ಮತ್ತು f4 ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಉತ್ಪನ್ನ f1 ನಲ್ಲಿ x1 ನ ವಿವಿಧ ಗಣಾಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಒಂದು ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ f2 ನಲ್ಲಿ x2 ನಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ಗಣಾಂಶಗಳಾದ 1 ಮತ್ತು 2ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ b ಆಗಿದೆ. f2 ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ಪನ್ನ f3 ಯಲ್ಲಿ x3 ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಶಗಳು x1 ನ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಗಣಾಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನ f4 ಅಲ್ಲಿ x1 ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ x4 ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಶಗಳು x1 ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. f4 ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಆಗಿದೆ.