ದ್ವೀತಿಯ ಪಿಯುಸಿ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಗಣಿತ

. ಸಂಬಂಧಗಳ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗವೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೊಸ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

. ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಹಾಗೆಯೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣಾಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣ A ಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣ Bಯ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಬೇಕಾದರೆ A ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಸಹ B ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

. ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣ A ದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಸಹ ಎರಡು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು.

. ಒಂದು ಕ್ರಮಯುಗ್ಮದಲ್ಲಿ (a,b) ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿದ್ದರೆ f(a)=b ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ b ಎಂಬುದು a ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

. ಇಲ್ಲಿ f ಎನ್ನುವ ಉತ್ಪನ್ನ ಗಣ A ಯಿಂದ B ಗೆ ಇರುವ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಧಗಳು

. ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನ: ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿ X ನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ (ವಿಭಿನ್ನ) ಗಣಾಂಶಗಳು, ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

. ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ f ನ್ನು ಅನೇಕ ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

. ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನ : ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ f:x _ y ನಲ್ಲಿ y ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶವು x ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಗಣಾಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ f ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ y ಆಗಿರಲೇಬೇಕು.

. ಉಭಯ ಕ್ಷೇಪನ ಉತ್ಪನ್ನ: ಉತ್ಪನ್ನ f ಏಕ-ಏಕ ಮತ್ತು ಮೇಲಣ ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಭಯ ಕ್ಷೇಪನ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಧಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದ f1 f2 f3 ಮತ್ತು f4 ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನ f1 ನಲ್ಲಿ x1 ನ ವಿವಿಧ ಗಣಾಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಒಂದು ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ f2 ನಲ್ಲಿ x2 ನಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ಗಣಾಂಶಗಳಾದ 1 ಮತ್ತು 2ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ b ಆಗಿದೆ. f2 ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

. ಉತ್ಪನ್ನ f3 ಯಲ್ಲಿ x3 ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಶಗಳು x1 ನ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಗಣಾಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಮೇಲಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ.

. ಉತ್ಪನ್ನ f4 ಅಲ್ಲಿ x1 ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ x4 ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಶಗಳು x1 ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. f4 ಏಕ-ಏಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಆಗಿದೆ.

. ಪ್ರಜಾವಾಣಿ ಆ್ಯಪ್ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಆಂಡ್ರಾಯ್ಡ್ | ಐಒಎಸ್ | ವಾಟ್ಸ್ಆ್ಯಪ್ , ಎಕ್ಸ್ , ಫೇಸ್ಬುಕ್ ಮತ್ತು ಇನ್ಸ್ಟಾಗ್ರಾಂ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಜಾವಾಣಿ ಫಾಲೋ ಮಾಡಿ.

ದ್ವೀತಿಯ ಪಿಯುಸಿ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಚಿನಕುರುಳಿ | 06 ಜುಲೈ 2025, ಭಾನುವಾರ

ವಾರ ಭವಿಷ್ಯ: 06-7-2025ರಿಂದ 12-7-2025 ರವರೆಗೆ- ಆಭರಣ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳಿಗೆ ಲಾಭ

IND vs ENG U19: ಅತಿ ವೇಗದ ಶತಕ ಸಿಡಿಸಿ ಇತಿಹಾಸ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವೈಭವ್ ಸೂರ್ಯವಂಶಿ

ದಿನ ಭವಿಷ್ಯ | ಈ ರಾಶಿಯವರಿಗೆ ಆರೋಗ್ಯದಲ್ಲಿ ಗಮನವಿರಲಿ

ENG vs IND Test | ಆಂಗ್ಲರಿಗೆ ಆಕಾಶ್ ಆಘಾತ: ಭಾರತಕ್ಕೆ 336 ರನ್ ಜಯ

ಲಂಡನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಹಿಳಾ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ತಂಡಕ್ಕೆ ಅದ್ದೂರಿ ಸ್ವಾಗತ

ENG vs IND | ಪಂದ್ಯವೊಂದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತ: ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್ ಪರ ಸ್ಮಿತ್ ದಾಖಲೆ

'ಇದಕ್ಕೆಲ್ಲ ಅರ್ಹ ನೀನು': ದಾಖಲೆ ಬರೆದ ಗಿಲ್‌ಗೆ ಬೆನ್ನುತಟ್ಟಿದ ಕೊಹ್ಲಿ

ಒಳನೋಟ | ಬೇಸಾಯಕ್ಕೆ ಯುವಜನ ಬೇಕಾಗಿದ್ದಾರೆ! ಕೃಷಿ ಒಲ್ಲೆ ಎನ್ನುವವರೇ ಹೆಚ್ಚು

ಒಳನೋಟ: ಸೋರುವ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲೇ ಕಲಿಕೆ!

ಒಳನೋಟ: ಹದಗೆಟ್ಟ ಹಾಸ್ಟೆಲ್‌ ‘ಆರೋಗ್ಯ’.. ಸರಿಯಾಗದ SC, ST, OBC ವಸತಿಶಾಲೆಗಳು

ಒಳನೋಟ | ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿದೇಶಿ ಹಣ್ಣುಗಳ ದಿಬ್ಬಣ

ಚಿನಕುರುಳಿ | 06 ಜುಲೈ 2025, ಭಾನುವಾರ

ವಾರ ಭವಿಷ್ಯ: 06-7-2025ರಿಂದ 12-7-2025 ರವರೆಗೆ- ಆಭರಣ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳಿಗೆ ಲಾಭ

IND vs ENG U19: ಅತಿ ವೇಗದ ಶತಕ ಸಿಡಿಸಿ ಇತಿಹಾಸ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವೈಭವ್ ಸೂರ್ಯವಂಶಿ

ದಿನ ಭವಿಷ್ಯ | ಈ ರಾಶಿಯವರಿಗೆ ಆರೋಗ್ಯದಲ್ಲಿ ಗಮನವಿರಲಿ